PEMBAHASAN SOAL UJIAN NASIONAL LOGARITMA

Model soal logaritma yang sering muncul dalam ujian nasional matematika :

1. Menentukan hasil suatu logaritma berdasarkan nilai logaritma yang diketahui.
2. Menentukan nilai koefisien yang memenuhi persamaan logaritma.
3. Soal aplikasi menentukan akar persamaan kuadrat yang melibatkan logaritma.
4. Soal aplikasi menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma

Kumpulan soal

1. (UAN 2005/2006)
   Nilai x yang memenuhi persamaan ²log ²log (2^x+1 + 3) = 1 + ²log x adalah ...
   A. ²log 3
   B. ³log 2
   C. log 2/3
   D. -1 atau 3
   E. 3 atau 1/2
   
   Pembahasan :
   Ingat kembali sifat logaritma :
   

   alog b = alog c ---> maka b = c

   
   ⇒ ²log ²log (2^x+1 + 3) = 1 + ²log x
   ⇒ ²log ²log (2^x+1 + 3) = 2log2 + ²log x
   ⇒ ²log ²log (2^x+1 + 3) = ²log 2x
   ⇒ ²log (2^x+1 + 3) = 2x
   ⇒ ²log (2^x+1 + 3) = ²log 2^2x
   ⇒ 2^x+1 + 3 = 2^2x
   ⇒ 2^x+1 + 3 - 2^2x = 0
   ⇒ 2^x.2¹ + 3 - 2^2x = 0 ---> ubah menjadi persamaan kuadrat
   ⇒ (2^x)² - 2(2^x) - 3 = 0
   
   misal 2^x = a, maka persamaan menjadi :
   ⇒ a² - 2a - 3 = 0
   ⇒ (a + 1)(a - 3) = 0
   ⇒ a = -1 atau a = 3
   
   Selanjutnya,
   untuk a = -1
   ⇒ 2^x = -1 ---> tidak ada nilai x yang memenuhi
   
   untuk a = 3
   ⇒ 2^x = 3
   ⇒ x = ²log 3 (opsi A)
   
   
   
2. (UAN 2005/2006)
   Penyelesaian pertidaksamaan log (x - 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ...
   A. x > 6
   B. x > 8
   C. 4 < x < 6
   D. -8 < x < 6
   E. 6 < x < 8
   
   Pembahasan :
   Ingat kembali sifat logaritma :
   

   alog b + alog c = alog bc

   
   

   alog b - alog c = alog b/c

   
   Dengan menggunakan rumus tersebut :
   ⇒ log (x - 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)
   ⇒ log (x - 4)(x + 8) < log (2x + 16)
   ⇒ log (x - 4)(x + 8) - log (2x + 16) < 0
   ⇒ log {(x - 4)(x + 8)} / (2x + 16) < 0
   ⇒ log {(x - 4)(x + 8)} / 2(x + 8) < 0
   ⇒ log (x - 4) / 2 < 0
   
   Syarat :
   ⇒ agar log (x - 4) / 2 < 0 maka x > 4
   ⇒ log (x - 4) / 2 < 0
   ⇒ log (x - 4) / 2 < log 1
   ⇒ (x - 4) / 2 < 1
   ⇒ x - 4 < 2
   ⇒ x < 6
   Jadi penyelesaiannya adalah 4 < x < 6 (opsi C)
   
   
   
3. (UAN 2006/2007)
   Jika ²log 3 = a dan ³log 5 = b, maka ¹⁵log 20 = ...
   A. 2/a
   B. (2 + ab)/ a(1 + b)
   C. a/2
   D. (b + 1)/ (2ab + 1)
   E. (a + b)/ (2 + ab)
   
   Pembahasan :
   Ingat kembali sifat logaritma :
   

   alog b = xlog b / xlog a  ; dengan x> 0 dan x ≠ 1

   
   

   alog bx = x alog b

   
   Karena yang diketahui adalah nilai ²log 3 dan ³log 5 maka ubahlah ¹⁵log20 ke dalam bentuk logaritma yang mengandung kedua logaritma tersebut.
   
   ⇒ ¹⁵log 20 = ³log 20 / ³log 15
   ⇒ ¹⁵log 20 = ³log (4.5) / ³log (3.5)
   ⇒ ¹⁵log 20 = ³log (2².5) / ³log (3.5)
   ⇒ ¹⁵log 20 = (³log 2² + ³log 5) / (³log 3 + ³log 5)
   ⇒ ¹⁵log 20 = (2 ³log 2 + ³log 5) / (³log 3 + ³log 5)
   
   Ingat kembali sifat logaritma :
   

   alog b = 1/ (blog a)

   
   Karena ³log 2 = 1/ (²log 3) = 1/a, maka :
   ⇒ ¹⁵log 20 = {2.(1/a) + b}/ (1 + b)
   ⇒ ¹⁵log 20 = {(2 + ab)/ a}/ (1 + b)
   ⇒ ¹⁵log 20 = (2 + ab)/ a(1 + b) ---> opsi B
   
   
   
4. (UAN 2007/2008)
   Dikatahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b, maka nilai dari ⁶log 14 adalah ...
   A. a/ (a + b)
   B. (1 + a)/ (1 + b)
   C. (a + 1)/ (a + b)
   D. a/ a(a + b)
   E. (a + 1)/ a(a + b)
   
   Pembahasan :
   ⇒ ⁶log 14 = (²log 14)/ (²log 6)
   ⇒ ⁶log 14 = (²log 7.2)/ (²log 3.2)
   ⇒ ⁶log 14 = (²log 7 + ²log 2)/ (²log 3 + ²log 2)
   ⇒ ⁶log 14 = (²log 7 + 1)/ (²log 3 + 1)
   ⇒ ⁶log 14 = (a + 1)/ (b + 1)
   ⇒ ⁶log 14 = (1 + a)/ (1 + b) ---> opsi C
   
   
   
5. (UAN 2008/2009)
   Diketahui ²log √(12x + 4) = 3. Nilai 3x adalah ...
   A. 15
   B. 5
   C. 5/3
   D. 3/5
   E. 1/5
   
   Pembahasan :
   ⇒ ²log √12x + 4 = 3
   ⇒ ²log √12x + 4 = ²log 2³
   ⇒ √12x + 4 = 2³
   ⇒ (√12x + 4)² = (2³)²
   ⇒ 12x + 4 = 2⁶
   ⇒ 12x + 4 = 64
   ⇒ 12x = 60
   ⇒ x = 5
   Jadi nilai 3x = 3.5 = 15 (opsi A)


6. (UAN 2009/2010)
   Nilai dari (³log √6) / {(³log 18) - (³log 2)} adalah ...
   A. 1/8
   B. 1/2
   C. 1
   D. 2
   E. 8
   
   Pembahasan :
   (³log √6) / {(³log 18)² - (³log 2)²} = (³log 6 ^½) / {(³log 9.2)² - (³log 2)²}
     = (½ ³log 6) / {(³log 9 + ³log 2)² - (³log 2)²}
     = (½ ³log 3.2) / {(³log 3² + ³log 2)² - (³log 2)²}
     = {½ (³log 3 + ³log 2)} / {(2 ³log 3 + ³log 2)² - (³log 2)²}
     = {½ (1 + ³log 2)} / {(2 + ³log 2)² - (³log 2)²}
     = {½ (1 + ³log 2)} / {(4 + 4 ³log 2 + ³log 2² ) - (³log 2)²}
     = {½ (1 + ³log 2)} / {(4 + 4 ³log 2 + ³log 2² - ³log 2²}
     = {½ (1 + ³log 2)} / (4 + 4 ³log 2)
     = {½ (1 + ³log 2)} / {4 (1 +  ³log 2)}
     =  ½ / 4
     = 1/8 ---> opsi A.
   
   
   
7. (UAN 2010/2011)
   Nilai x yang memenuhi persamaan ^½log (x² - 3) - ^½log x = -1 adalah ...
   A. x = -1 atau x = 3
   B. x = 1 atau x = -3
   C. x = 1 atau x = 3
   D. x = 1
   E. x = 3
   
   Pembahasan :
   ⇒ ^½log (x² - 3) - ^½log x = -1
   ⇒ ^½log {(x² - 3)/ x} = ^½log (½)^-1
   ⇒ (x² - 3)/ x = (½)^-1
   ⇒ (x² - 3)/ x = 2
   ⇒ x² - 3 = 2x
   ⇒ x² - 3 - 2x = 0
   ⇒ x² - 2x - 3 = 0
   ⇒ (x + 1)(x - 3) = 0
   ⇒ x = -1 atau x = 3
   
   Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :
   

   an = b ⇔ n = alog b  ; b > 0

   
   Karena b harus lebih besar dari nol, maka x = -1 tidak berlaku karena akan menyebabkan b bernilai negatif. Jadi nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 3 ---> opsi E.
   
   
   
8. (UAN 2011/2012)
   Diketahui ⁵log 3 = a dan ³log 4 = b. Nilai ⁴log 15 adalah ...
   A. (1 + a)/ ab
   B. (1 + a)/ (1 + b)
   C. (1 + b)/ (1 - a)
   D. ab/ (1 - a)
   E. ab/ (1 - b)
   
   Pembahasan :
   ⇒ ⁴log 15 = (³log 15)/ ³log 4
   ⇒ ⁴log 15 = (³log 3.5)/ ³log 4
   ⇒ ⁴log 15 = (³log 3 + ³log 5)/ ³log 4
   
   Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :
   

   alog b  = 1/ blog a

   
   Karena ³log 5 = 1/ ⁵log 3 = 1/a, maka diperoleh :
   ⇒ ⁴log 15 = (³log 3 + ³log 5)/ ³log 4
   ⇒ ⁴log 15 = (1 + 1/a)/ b
   ⇒ ⁴log 15 = {(a + 1)/ a}/ b
   ⇒ ⁴log 15 = (a + 1)/ ab
   ⇒ ⁴log 15 = (1 + a)/ ab ---> opsi A.
   
   
   
9. (UAN 2012/2013)
   Diketahui ²log 5 = p dan ⁵log 3 = b. Nilai ³log 10 dinyatakan dalam p dan q adalah ...
   A. (p + 1)/ q
   B. (p + 1)/ pq
   C. (q + 1)/ p
   D. (q + 1)/ pq
   E. (pq + 1)/ q
   
   Pembahasan :
   ⇒ ³log 10 = (⁵log 10)/ ⁵log 3
   ⇒ ³log 10 = (⁵log 2.5)/ ⁵log 3
   ⇒ ³log 10 = (⁵log 2 + ⁵log 5)/ ⁵log 3
   
   Karena  ⁵log 2 = 1/ ²log 5 = 1/p, maka diperoleh :
   ⇒ ³log 10 = (⁵log 2 + ⁵log 5)/ ⁵log 3
   ⇒ ³log 10 = (1/p + 1)/ q
   ⇒ ³log 10 = {(1 + p)/ p}/ q
   ⇒ ³log 10 = (1 + p)/ pq
   ⇒ ³log 10 = (p + 1)/ pq --->  opsi B.

Advertiser