Model soal trigonometri yang sering keluar dalam ujian nasional antara lain : menentukan nilai perbandingan trigonometri (sin, cos, tan, cosec, sec, dan cot) sudut istimewa, menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut bila diketahui beberapa nilai perbandingan trigonometri sudut tertentu, menentukan jumlah, selisih, dan hasil kali perbandingan trigonometri suatu sudut. Konsep dasar yang harus dipahami untuk menyelesaikan soal-soal tersebut antara lain konsep perbandingan trigonometri sudut istimewa, perbandingan trigonometri sudut berelasi, rumus penjumlahan trigonometri, dan konsep perkalian trigonometri.
Ujian Nasional Matematika - Trigonometri
Kumpulan soal
- (UJIAN NASIONAL 2005/2006)Nilai sin 105o + cos 15o adalah ...
A. ½ (-√6 - √2)
B. ½ (√3 - √2)
C. ½ (√6 - √2)
D. ½ (√3 + √2)
E. ½ (√6 + √2)
Pembahasan :
sin 105o + cos 15o = sin (90o + 15o) + cos 15o
sin 105o + cos 15o = cos 15o + cos 15o
sin 105o + cos 15o = 2 cos 15o
sin 105o + cos 15o = 2 cos (45o-30o)
sin 105o + cos 15o = 2 (cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o)
sin 105o + cos 15o = 2 (½√2. ½√3 + ½√2 . ½)
sin 105o + cos 15o = ½√6 + ½√2
sin 105o + cos 15o = ½ (√6 + √2) ---> opsi E - (UJIAN NASIONAL 2005/2006)Diketahui cos (x-y) = 4/5 dan sin x. sin y = 3/10. Nilai tan x. tan y = ...
A. -5/3
B. -4/3
C. -3/5
D. 3/5
E. 5/3
Pembahasan :
cos (x-y) = 4/5
cos x cos y + sin x sin y = 4/5
cos x cos y + 3/10 = 4/5
cos x cos y = 4/5 - 3/10
cos x cos y = 1/2
tan x . tan y = (sin x/ cos x) . (sin y/ cos y)
tan x . tan y = (sin x. sin y) / (cos x cos y)
tan x . tan y = (3/10) / (1/2)
tan x . tan y = (3/10) (2)
tan x . tan y = 6/10
tan x . tan y = 3/5 ---> opsi D. - (UJIAN NASIONAL 2006/2007)Nilai dari cos 40o + cos 80o +cos 160o adalah ...
A. -½√2
B. -½
C. 0
D. ½
E. ½√2
Pembahasan :
Agar lebih mudah, tentukan masing-masing terlebih dahulu.
cos 40o = cos (30o + 10o)
cos 40o = cos 30o cos 10o - sin 30o sin 10o
cos 40o = ½√3. cos 10o - ½ sin 10o
cos 80o = cos (90o - 10o)
cos 80o = cos 90o cos 10o + sin 90o sin 10o
cos 80o = 0. cos 10o + 1 sin 10o
cos 80o = sin 10o
cos 160o = cos (150o + 10o)
cos 160o = cos 150o cos 10o - sin 150o sin 10o
cos 160o = - ½√3. cos 10o - ½ sin 10o
Maka diperoleh:
cos40o + cos80o + cos160o = ½√3.cos10o - ½sin10o + sin10o + (-½√3.cos10o - ½sin10o)
cos40o + cos80o + cos160o =½√3.cos10o- ½sin10o + sin10o -½√3.cos10o- ½sin10o
cos40o + cos80o + cos160o = sin10o - sin10o
cos40o + cos80o + cos160o = 0 ---> opsi C. - (UJIAN NASIONAL 2006/2007) Jika sudut α dan β lancip, sin α = 3/5 dan sin β = 7/25, maka cos (α + β) adalah ...
A. 3/4
B. 5/3
C. 3/5
D. 4/5
E. 5/4
Pembahasan :
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Karena cos β dan cos α belum diketahui, maka kita harus mencarinya terlebih dahulu. Dari identitas trigonometri sin2 x + cos2 y = 1, diperoleh :
sin2 α + cos2 α = 1
(3/5)2 + cos2 α = 1
cos2 α = 1 - 9/25
cos2 α = 16/25
cos α = 4/5
sin2 β + cos2 β = 1
(7/25)2 + cos2 β = 1
cos2 β = 1 - 49/625
cos2 β = 576/25
cos β = 24/25
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos (α + β) = (4/5. 24/25) - (3/5. 7/25)
cos (α + β) = 96/125 - 21/125
cos (α + β) = 75/125
cos (α + β) = 3/5 ---> opsi C - (UJIAN NASIONAL 2007/2008)Jika tan α = 1 dan tan β = 1/3 dengan sudut lancip, maka sin (α - β) = ...
A. 2/3√5
B. 1/5√5
C. ½
D. 2/5
E. 1/5
Pembahasan :
Karena sudut lancip, maka :
tan α = 1 ---> sin α = cos α = ½√2
tan β = 1/3 ---> sin β = (√10) /10 dan cos β = (3√10) /10
sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α - β) = {½√2 . (3√10) /10} - {½√2 . (√10) /10}
sin (α - β) = {(3√20) /20} - {(√20) /20}
sin (α - β) = (3√20 - √20) /20
sin (α - β) = (2√20) /20
sin (α - β) = {2√(4.5)} /20
sin (α - β) = (4√5) /20
sin (α - β) = (4/20)√5
sin (α - β) = 1/5√5 ---> opsi B - (UJIAN NASIONAL 2008/2009) Diketahui sin α = 1/5√13, α lancip. Nilai cos 2α adalah ...
A. -1
B. - ½
C. -1.5
D. -1/25
E. 1
Pembahasan :
cos 2α = 1 - 2 sin2 α
cos 2α = 1 - 2 (1/5√13)2
cos 2α = 1 - 2 (13/25)
cos 2α = 1 - 26/25
cos 2α = -1/25 ---> opsi D - (UJIAN NASIONAL 2009/2010) Nilai dari (sin 27o + sin 63o) / (cos 138o + cos 102o) adalah ...
A. -√2
B. - ½√2
C. 1
D. ½√2
E. √2
Pembahasan :
(sin 27o + sin 63o) / (cos 138o + cos 102o)
= {2 sin ½(27o + 63o) . cos ½(27o - 63o)} / {2 sin ½(138o + 102o) . cos ½(138o - 102o)}
Karena cos(-α) = cos α maka :
(sin 27o + sin 63o) / (cos 138o + cos 102o)
= {2 sin 45o . cos (- 18o)} / {2 sin 120o . cos 18o}
= {2 (½√2) .cos 18o} / {2 (-½) .cos 18o}
= √2 / -1
= -√2 ---> opsi A. - (UJIAN NASIONAL 2009/2010) Diketahui tan α - tan β = 1/3, dan cos α . cos β = 48/65 (α, β lancip). Nilai sin (α - β) adalah ...
A. 63/65
B. 33/65
C. 26/65
D. 16/48
E. 16/65
Pembahasan :
tan α - tan β = 1/3
(sin α / cos α) - (sin β / cos β) = 1/3 ---> samakan penyebut
(sin α .cos β - cos α .sin β ) / (cos α .cos β) = 1/3
{sin (α - β)} / 48/65 = 1/3
sin (α - β) = 1/3 (48/65)
sin (α - β) = 16/65 ---> opsi E. - (UJIAN NASIONAL 2010/2011) Nilai dari (cos 140o + cos 100o) / (sin 140o - sin 100o) adalah ...
A. -√3
B. - ½√3
C. ½√3
D. 1/3√3
E. √3
Pembahasan :
(cos 140o + cos 100o) / (sin 140o - sin 100o)
= {-2 sin ½(140o + 100o) . sin ½(140o - 100o)} / {2 cos ½(140o + 100o) . sin ½(140o - 100o)}
= {-2 sin ½(140o + 100o) .sin ½(140o - 100o)} / {2 cos ½(140o + 100o) .sin ½(140o - 100o)}
= -2sin 120o /2cos 120o
= - sin 120o / cos 120o
= - tan 120o
= - (-√3)
= √3 ---> opsi E. - (UJIAN NASIONAL 2011/2012) Nilai dari sin 75o - sin 165o adalah ...
A. -¼√3
B. ¼√3
C. ¼√6
D. ½√2
E. ½√6
Pembahasan :
sin 75o - sin 165o = 2 cos ½(75o + 165o) . sin ½(75o - 165o)
sin 75o - sin 165o = 2 cos 120o . sin (- 45o)
Karena sin (-a) = - sin a, maka :
sin 75o - sin 165o = 2 cos 120o . sin (- 45o)
sin 75o - sin 165o = 2 cos 120o . (-sin 45o)
sin 75o - sin 165o = - 2 cos 120o . sin 45oUntuk mencari cos 120o dapat digunakan :cos 120o = cos (180o - 60o) = - cos 60oMaka diperoleh :sin 75o - sin 165o = - 2 cos (180o - 60o) . sin 45osin 75o - sin 165o = - 2 (- cos 60o) . sin 45o
sin 75o - sin 165o = 2 (½) .(½√2)
sin 75o - sin 165o = ½√2 ---> opsi