Sebelum menentukan jenis dan sifat akar dari suatu persamaan kuadrat, pertama-tama tentu kita harus mengerti bagaimana bentuk persamaan kuadrat itu. Persamaan kuadrat biasanya dituliskan seperti pada kotak di bawah ini.
Pada persamaan tersebut dituliskan syarat bahwa a tidak boleh sama dengan 0 karena jika a = 0, maka persamaan itu akan menjadi persamaan garis lurus dimana b berfungsi sebagai gradien atau sering dilambangkan dengan m.
Jenis akar persamaan kuadrat bergantung pada nilai diskriminannya. Oleh karena itu jenis-jenis akar suatu persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai konstanta a, b, dan c dalam persamaan tersebut.
Pada persamaan tersebut dituliskan syarat bahwa a tidak boleh sama dengan 0 karena jika a = 0, maka persamaan itu akan menjadi persamaan garis lurus dimana b berfungsi sebagai gradien atau sering dilambangkan dengan m.
Jenis akar persamaan kuadrat bergantung pada nilai diskriminannya. Oleh karena itu jenis-jenis akar suatu persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai konstanta a, b, dan c dalam persamaan tersebut.
ax2 + bx + c = 0
Dengan :
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = tetapan
Jenis-jenis Akar
Untuk mengetahui jenis-jenis akar dari suatu persamaan kuadrat dapat digunakan persamaan berikut :
D = b2 - 4ac
Dengan :
D = diskriminan
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = tetapan
Jika nilai D dapat dihitung, maka dengan mudah dapat ditentukan jenis-jenis akarnya. Secara garis besar ada 3 jenis akar yang mungkin diperoleh dari suatu persamaan kuadrat, yaitu :
1. Akar real (D ≥ 0)
a. Akar real berlainan bila D > 0
Penyelesaian :
Contoh : Tentukan jenis akar dari persamaan x2 + 4x + 2 = 0.
Penyelesaian :
Dari hasil perhitungan diketahui D > 0 maka akarnya merupakan akar real tapi berbeda.
b. Akar real sama, x1 = x2 bila D = 0Penyelesaian :
Contoh : Buktikan bahwa 2x2 + 4x + 2 = 0 memiliki akar real kembar.
Penyelesaian :
Karena D = 0, maka terbukti bahwa akarnya real dan kembar.
2. Akar tidak real/imajiner (D < 0)
Contoh : Tentukan jenis akar dari persamaan x2 + 2x + 4 = 0
Penyelesaian :
Dari perhitungan diperoleh D < 0 maka akar-akarnya adalah tidak real.
3. Akar rasional (D = k2)
Contoh : Tentukan jenis akar dari persamaan x2 + 4x + 3 = 0
Penyelesaian :
Karena D = k2 = 4 , maka akar persamaannya adalah akar rasional.
Sifat Akar
Sifat yang dimaksud dalam akar persamaan kuadrat adalah akar positif, negatif, berbeda tanda, berlawanan, atau berkebalikan. Untuk melihat sifat akar, selain mencari nilai D, kita juga harus mencari hasil penjumlahan dan hasil perkalian akar-akar suatu persamaan kuadrat. Adapun rumus yang diapaki untuk menentukan sifat akar adalah sebagai berikut :
Sifat akar dari suatu persamaan kuadrat antaralain :
1. Dua akar positif (x1 > 0 dan x2 > 0)
Akar-akar persamaan kuadrat dikatakan positif jika :
- D ≥ 0
- x1 + x2 > 0
- x1 . x2 > 0
2. Dua akar negatif (x1 < 0 dan x2 < 0)
Akar-akar persamaan kuadrat dikatakan negatif jika :
- D ≥ 0
- x1 + x2 < 0
- x1 . x2 > 0
3. Dua akar berbeda tanda (salah satu akar negatif)
Persamaan kuadrat memiliki akar yang berbeda tanda yaitu salah satu akar bertanda positif dan yang lain negatif apabila perkalian kedua akarnya bernilai negatif (x1 . x2 < 0)
4. Sama besar berlawanan tanda (x1 = -x2)
Bila suatu persamaan kuadrat memiliki nilai b = 0 atau berbentuk ax2 + c = 0, maka akar-akarnya akan mamiliki nilai yang sama dan berlawanan tanda.
5. Akar berkebalikan ( x1 = 1/x2)
Akar x1 akan berupa kebalikan dari akar x2 jika dalam suatu persamaan kuadrat nilai c dan a sama (a = c)