SOAL DAN PEMBAHASAN MENENTUKAN SISA PEMBAGIAN SUKU BANYAK

Berdasarkan teorema sisa, suatu suku banyak merupakan hasil bagi dikali pembagi ditambah dengan sisa pembagian. Secara matematis dapat ditulis sebagi berikut :

f(x) = h(x).g(x) + s(x)

dengan :

f(x) = suku banyak

h(x) = hasil bagi

g(x) = pembagi

s(x) = sisa pembagian.

Beberapa konsep yang umum dalam penentuan sisa pembagian suku banyak antara lain :

• Jika f(x) dibagi oleh (x - a) → s(x) = f(a)
• Jika f(x) dibagi oleh (x + a) → s(x) = f(-a)
• Jika f(x) dibagi oleh (ax - b) → s(x) = f(b/a)
• Jika f(x) dibagi oleh (ax - b) → s(x) = f(-b/a) 

Kumpulan Soal Menentukan Sisa Pembagian

1. Suku banyak f(x) jika dibagi (x - 2) sisanya 24 dan f(x) dibagi (x + 5) sisanya 10. Jika f(x) tersebut dibagi dengan (x² + 3x - 10), maka sisanya sama dengan ...
   A. x + 34
   B. x - 34
   C. x + 10
   D. 2x + 20
   E. 2x - 20
   
   Pembahasan 
   Berdasarkan teorema sisa, diperoleh :
   f(x) = h(x) (x - 2) +  24
   f(x) = h(x) (x + 5) +  10
   
   Suku banyak dibagi dengan (x - 2) sisa 24 → f(2) = 24
   Suku banyak dibagi dengan (x + 5) sisa 10 → f(-5) = 10
   
   Karena ditanya sisa pembagian jika dibagi dengan (x² + 3x - 10), maka kita dapat memisalkan sisa baginya dengan s(x) = (ax + b). Karena x² + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) maka diperoleh :
   f(x) dibagi dengan (x + 5) → f(-5) = s(x)
   ⇒ f(-5) = ax + b
   ⇒ f(-5) = a(-5) + b
   ⇒ f(-5) = -5a + b
   ⇒ f(-5) = 10 → karena dari soal diketahui f(-5) = 10
   maka -5a + b = 10
   
   f(x) dibagi dengan (x - 2) → f(2) = s(x)
   ⇒ f(2) = ax + b
   ⇒ f(2) = a(2) + b
   ⇒ f(2) = 2a + b
   ⇒ f(2) = 24 → karena dari soal diketahui f(2) = 24
   maka 2a + b = 24
   
   Selanjutnya kita dapat menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
   dari persamaan 2a + b = 24 → b = 24 - 2a → substitusi ke persamaan -5a + b = 10
   ⇒ -5a + b = 10
   ⇒ -5a + 24 - 2a = 10
   ⇒ -7a = -14
   ⇒ a = 2
   
   Karena a = 2, maka diperoleh
   ⇒ b = 24 - 2a
   ⇒ b = 24 - 2(2)
   ⇒ b = 20
   
   Jadi sisa bagi suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x² + 3x - 10) adalah :
   s(x) = ax + b = 2x + 20 ---> opsi D.
   
   
2. Jika f(x) dibagi oleh x² - 2x sisanya 2x + 1 dan jika dibagi oleh x² - 3x sisanya 5x + 2. Jika dibagi oleh x² - 5x + 6, maka sisanya sama dengan ...
   A. 22x - 39
   B. 12x + 19
   C. 12x - 19
   D. -12x + 19
   E. -22x + 49
   
   Pembahasan 
   Berdasarkan teorema sisa, diperoleh :
   f(x) = h(x) (x² - 2x) +  2x + 1
   f(x) = h(x) (x² - 3x) +  5x + 2
   
   Suku banyak dibagi dengan (x² - 2x) sisa 2x + 1 → f(2) = 2(2) + 1 = 5
   Suku banyak dibagi dengan (x² - 3x) sisa 5x + 2 → f(3) = 5(3) + 2 = 17
   
   Karena ditanya sisa pembagian jika dibagi dengan (x² - 5x + 6), maka kita dapat memisalkan sisa baginya dengan s(x) = (ax + b). Karena x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) maka diperoleh :
   f(x) dibagi dengan (x - 3) → f(3) = s(x)
   ⇒ f(3) = ax + b
   ⇒ f(3) = a(3) + b
   ⇒ f(3) = 3a + b
   ⇒ f(3) = 17 → karena dari soal diketahui f(3) = 17
   maka 3a + b = 17
   
   f(x) dibagi dengan (x - 2) → f(2) = s(x)
   ⇒ f(2) = ax + b
   ⇒ f(2) = a(2) + b
   ⇒ f(2) = 2a + b
   ⇒ f(2) = 5 → karena dari soal diketahui f(2) = 5
   maka 2a + b = 5
   
   Selanjutnya kita dapat menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
   dari persamaan 2a + b = 5 → b = 5 - 2a → substitusi ke persamaan 3a + b = 17
   ⇒ 3a + b = 17
   ⇒ 3a + 5 - 2a = 17
   ⇒ a = 12
   
   Karena a = 12, maka diperoleh
   ⇒ b = 5 - 2a
   ⇒ b = 5 - 2(12)
   ⇒ b = -19
   
   Jadi sisa bagi suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x² - 5x + 6) adalah :
   s(x) = ax + b = 12x - 19 ---> opsi C.
   
   
3. Suatu fungsi f(x) dibagi (x - 1) sisanya 3, sedangkan jika dibagi (x - 2) sisanya 4. Jika dibagi dengan x² - 3x + 2, maka sisanya adalah ...
   A. - x - 2
   B. x + 2
   C. x - 2
   D. 2x + 1
   E. 4x- 1
   
   Pembahasan 
   Berdasarkan teorema sisa, diperoleh :
   f(x) = h(x) (x - 1) +  3
   f(x) = h(x) (x - 2) +  4
   Suku banyak dibagi dengan (x - 1) sisa 3 → f(1) = 3
   Suku banyak dibagi dengan (x - 2) sisa 4 → f(2) = 4
   
   Karena ditanya sisa pembagian jika dibagi dengan (x² - 3x + 2), maka kita dapat memisalkan sisa baginya dengan s(x) = (ax + b). Karena x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) maka diperoleh :
   f(x) dibagi dengan (x - 1) → f(1) = s(x)
   ⇒ f(1) = ax + b
   ⇒ f(1) = a(1) + b
   ⇒ f(1) = a + b
   ⇒ f(1) = 3 → karena dari soal diketahui f(1) = 3
   maka a + b = 3
   
   f(x) dibagi dengan (x - 2) → f(2) = s(x)
   ⇒ f(2) = ax + b
   ⇒ f(2) = a(2) + b
   ⇒ f(2) = 2a + b
   ⇒ f(2) = 4 → karena dari soal diketahui f(2) = 4
   maka 2a + b = 4
   
   Selanjutnya kita dapat menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
   dari persamaan a + b = 3 → b = 3 - a → substitusi ke persamaan 2a + b = 4
   ⇒ 2a + b = 4
   ⇒ 2a + 3 - a = 4
   ⇒ a = 1
   
   Karena a = 1, maka diperoleh
   ⇒ b = 3 - a
   ⇒ b = 3 - 1
   ⇒ b = 2
   
   Jadi sisa bagi suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x² + 3x - 10) adalah :
   s(x) = ax + b = x + 2 ---> opsi B.
   
   
   
4. Suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (x - 2) sisanya 8, jika dibagi (x + 3) sisanya -7. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh x² + x - 6 adalah ...
   A. 9x - 7
   B. x + 6
   C. 2x + 3
   D. x - 4
   E. 3x + 2
   
   Pembahasan 
   Berdasarkan teorema sisa, diperoleh :
   f(x) = h(x) (x - 2) +  8
   f(x) = h(x) (x + 3) - 7
   Suku banyak dibagi dengan (x - 2) sisa 3 → f(2) = 8
   Suku banyak dibagi dengan (x + 3) sisa -7 → f(-3) = -7
   
   Karena ditanya sisa pembagian jika dibagi dengan (x² + x - 6), maka kita dapat memisalkan sisa baginya dengan s(x) = (ax + b). Karena x² + x - 6 = (x + 3)(x - 2) maka diperoleh :
   f(x) dibagi dengan (x + 3) → f(-3) = s(x)
   ⇒ f(-3) = ax + b
   ⇒ f(-3) = a(-3) + b
   ⇒ f(-3) = -3a + b
   ⇒ f(-3) = -7 → karena dari soal diketahui f(-3) = -7
   maka -3a + b = -7
   
   f(x) dibagi dengan (x - 2) → f(2) = s(x)
   ⇒ f(2) = ax + b
   ⇒ f(2) = a(2) + b
   ⇒ f(2) = 2a + b
   ⇒ f(2) = 8 → karena dari soal diketahui f(2) = 8
   maka 2a + b = 8
   
   Selanjutnya kita dapat menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
   dari persamaan 2a + b = 8 → b = 8 - 2a → substitusi ke persamaan -3a + b = -7
   ⇒ -3a + b = -7
   ⇒ -3a + 8 - 2a = -7
   ⇒ -5a = -15
   ⇒ a = 3
   
   Karena a = 1, maka diperoleh
   ⇒ b = 8 - 2a
   ⇒ b = 8 - 2(3)
   ⇒ b = 2
   
   Jadi sisa bagi suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x² + x - 6) adalah :
   s(x) = ax + b = 3x + 2 ---> opsi E.
   
   
5. Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x² - 1) sisanya (12x - 23) dan jika dibagi oleh (x - 2), sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh (x² - 3x + 2) adalah ...
   A. 12x - 23
   B. -12x + 1
   C. -10x + 1
   D. 24x + 1
   E. 24x - 27
   
   

   

   
   Pembahasan 
   Berdasarkan teorema sisa, diperoleh :
   P(x) = h(x) (x² - 1) +  (12x - 23)
   P(x) = h(x) (x - 2) +  1
   
   Suku banyak dibagi dengan (x² - 1) → P(1) = 12x - 23
   ⇒ P(1) = 12x - 23
   ⇒ P(1) = 12(1) - 23 = 12 - 23
   ⇒ P(1) = -11
   Suku banyak dibagi dengan (x - 2) → P(2) = 1
   
   Karena ditanya sisa pembagian jika dibagi dengan (x² - 3x + 2), maka kita dapat memisalkan sisa baginya dengan s(x) = (ax + b). Karena x² - 3x + 2 = (x - 2)(x -1) maka diperoleh :
   P(x) dibagi dengan (x -1) → P(1) = s(x)
   ⇒ P(1) = ax + b
   ⇒ P(1) = a(1) + b
   ⇒ P(1) = a + b
   ⇒ P(1) = -11 → karena dari soal diketahui P(1) = -11
   maka a + b = -11
   
   P(x) dibagi dengan (x - 2) → P(2) = s(x)
   ⇒ P(2) = ax + b
   ⇒ P(2) = a(2) + b
   ⇒ P(2) = 2a + b
   ⇒ P(2) = 1 → karena dari soal diketahui P(2) = 1
   maka 2a + b = 1
   
   Selanjutnya kita dapat menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
   dari persamaan a + b = -11 → a = -11 - b → substitusi ke persamaan 2a + b = 1
   ⇒ 2a + b = 1
   ⇒ 2 (-11 - b) + b = 1
   ⇒ -22 - 2b + b = 1
   ⇒ -b = 23
   ⇒ b = -23
   
   Karena b = -23, maka diperoleh
   ⇒ a = -11 - b
   ⇒ a = -11 - (-23)
   ⇒ a = 12
   
   Jadi sisa bagi suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x² - 3x + 2) adalah :
   s(x) = ax + b = 12x + (-23) = 12x - 23 ---> opsi A.
   
   

Advertiser