Model soal suku banyak yang sering muncul dalam ujian nasional antara lain :
Kumpulan Soal
- Menentukan faktor suku banyak jika salah satu faktornya diketahui
- Menentukan sisa bagi suatu suku banyak
- Menentukan sisa bagi suatu suku banyak berdasarkan sisa bagi dari suku banyak yang lain
- Menentukan nilai variabel tertentu dalam suku banyak
- Menentukan persamaan suku banyak jika sisa baginya diketahui
Kumpulan Soal
- (Ujian Nasional 2005/2006)Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 - 1) sisanya (12x - 23) dan jika dibagi oleh (x - 2), sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh (x2 - 3x + 2) adalah ...
A. 12x - 23
B. -12x + 1
C. -10x + 1
D. 24x + 1
E. 24x - 27
Pembahasan :
Berdasarkan teorema sisa, suatu suku banyak dapat ditulis sebagai berikut :
P(x) = h(x) . g(x) + s(x)
dengan :
P(x) = suku banyak
h(x) = hasil bagi
g(x) = pembagi
s(x) = sisa pembagian
Dengan demikian, maka suku banyak dalam soal dapat ditulis sebagai berikut :
P(x) = h(x) (x2 - 1) + (12x - 23)
P(x) = h(x) (x - 2) + 1
Selanjutnya, masih berdasarkan konsep teorema sisa bila suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (ax - b), maka sisanya adalah :
s(x) = P(-b/a)
dengan :
s(x) = sisa bagi
-b/a diambil dari (ax - b)
Sebagian buku menggunakan rumus s(x) = P(b/a). Sebenarnya itu sama saja hanya perbedaan cara saja. Sebagai contoh, misal pembaginya adalah 2x - 4, maka sisa nya adalah s(x) = P(-b/a) dengan catatan dari 2x - 4 diketahui a = 2 dan b = -4 sehingga P(-b/a) = P(4/2) = P(2). Sebaliknya dengan cara lain, s(x) = P(b/a) dengan catatan dari 2x - 4 diproleh x = 4/2 sehingga P(b/a) = P(4/2) = P(2). Jadi sebenarnya sama saja.
Berdasarkan konsep tersebut maka diperoleh :
Dibagi dengan (x2 - 1) → -b/a = 1
P(1) = 12x - 23
P(1) = 12(1) - 23 = 12 - 23
P(1) = -11
Dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2
P(2) = 1
Karena ditanya sisa bagi jika dibagi dengan (x2 - 3x + 2), maka kita dapat memisalkan sisa baginya dengan (ax + b). Karena x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x -1) maka dapat dilihat bahwa untuk (x - 2) → -b/a = 2 dan untuk (x -1) → -b/a = 1. Dengan demikian maka diperoleh :
Dibagi dengan (x -1)
P(1) = ax + b
P(1) = a(1) + b
P(1) = a + b
P(1) = -11 → karena dari soal diketahui P(1) = -11
maka a + b = -11
Dibagi dengan (x - 2)
P(2) = ax + b
P(2) = a(2) + b
P(2) = 2a + b
P(2) = 1 → karena dari soal diketahui P(2) = 1
maka 2a + b = 1
Selanjutnya kita dapat menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
a + b = -11 → a = -11 - b → substitusi ke persamaan 2a + b = 1
2a + b = 1
2 (-11 - b) + b = 1
-22 - 2b + b = 1
-b = 23
b = -23
Karena b = -23, maka diperoleh
a = -11 - b
a = -11 - (-23)
a = 12
Jadi sisa bagi suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x2 - 3x + 2) adalah :
s(x) = ax + b = 12x + (-23) = 12x - 23 ---> opsi A. - (Ujian Nasional 2006/2007)Jika f(x) dibagi dengan (x - 2) sisanya 24, sedangkan jika dibagi dengan (2x - 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x - 2)(2x - 3), maka sisanya adalah ...
A. 8x + 8
B. 8x - 8
C. -8x + 8
D. -8x - 8
E. -8x + 6
Pembahasan :
Berdasarkan teorema sisa, suatu suku banyak dapat ditulis sebagai berikut :
f(x) = h(x) . g(x) + s(x)
dengan :
f(x) = suku banyak
h(x) = hasil bagi
g(x) = pembagi
s(x) = sisa pembagian
Dengan demikian, maka suku banyak dalam soal dapat ditulis sebagai berikut :
f(x) = h(x) (x - 2) + 24
f(x) = h(x) (2x - 3) + 20
Selanjutnya, masih berdasarkan konsep teorema sisa bila suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (ax - b), maka sisanya adalah :
s(x) = f(-b/a).
dengan :
s(x) = sisa bagi
-b/a diambil dari (ax - b)
Berdasarkan konsep tersebut maka diperoleh :
Dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2
f(2) = 24
Dibagi dengan (2x - 3) → -b/a =3/2f(3/2) = 20
Karena ditanya sisa bagi jika dibagi dengan (x - 2)(2x - 3), maka kita dapat memisalkan sisa baginya dengan (ax + b). Dengan demikian maka diperoleh :
Dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2
f(2) = ax + b
f(2) = a(2) + b
f(2) = 2a + b
f(2) = 24 → karena dari soal diketahui f(2) = 24
maka 2a + b = 24
Dibagi dengan (2x - 3) → -b/a =3/2
f(3/2) = ax + b
f(3/2) = a(3/2) + b
f(3/2) = (3/2)a + b
f(3/2) = 20 → karena dari soal diketahui f(3/2) = 20
maka (3/2)a + b = 20
Selanjutnya kita dapat menetukan nilai a dan b dengan cara substitusi sebagai berikut :
2a + b = 24 → b = 24 - 2a → substitusi ke persamaan (3/2)a + b = 20
(3/2)a + b = 20(3/2)a + ( 24 - 2a) = 20
(3/2 - 2)a = -4
-½ a = -4
a = 8
Karena a = 8, maka diperoleh
b = 24 - 2a
b = 24 - 2(8)b = 24 - 16b = 8
Jadi sisa bagi suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x - 2)(2x - 3) adalah :
s(x) = ax + b = 8x + 8 ---> opsi A. - (Ujian Nasional 2007/2008)Salah satu faktor suku banyak P(x) = x4 - 15x2 - 10x + n adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah ...
A. x - 4
B. x + 4
C. x + 6
D. x - 6
E. x - 8
Pembahasan :
Berdasarkan konsep teorema sisa, faktor suku banyak adalah fungsi yang jika suku banyak dibagi olehnya sisanya sama dengan nol atau dengan kata lain suku banyak akan habis bila dibagi dengan faktornya. Jika P(x) habis dibagi ax - b, maka berlaku :
P(-b/a) = 0
dengan :
ax - b disebut faktor suku banyak P(x)
x = -b/a disebut akar dari P(x) = 0
Karena dibagi dengan (x + 2) → -b/a = -2, maka diperoleh :
P(-b/a) = x4 - 15x2 - 10x + n = 0
P(-2) = (-2)4 - 15(-2)2 - 10(-2) + n = 0
16 - 60 + 20 + n = 0
n = 24
Karena n = 24, maka suku banyaknya menjadi :
P(x) = x4 - 15x2 - 10x + 24
Dengan menggunakan metode sintetik kita dapat mengetahui faktor lainnya.
-2 | 1 0 -15 -10 24
| -2 4 22 -24
——————————— +
1 -2 -11 12 0
Angka yang berwarna merah merupakan hasil bagi yang jika ditulis menjadi suku banyak adalah :
h(x) = x3 - 2x2 - 11x + 12.
Dari hasil bagitersebut kita dapat menentukan faktor suku banyak yang lain yaitu :
x3 - 2x2 - 11x + 12 = (x - 4)(x + 3)(x -1)
Berdasarkan konsep teorima sisa diperoleh :
P(x) = x4 - 15x2 - 10x + 24 = (x + 2)(x - 4)(x + 3)(x -1)
Tulisan berwarna biru merupakan faktor dari suku banyak tersebut. Jadi faktor lain yang ada dalam opsi adalah (x - 4) ---> opsi A. - (Ujian Nasional 2008/2009)Suku banyak f(x) dibagi dengan (x - 2) sisa 1, dibagi dengan (x + 3) sisa -8. Suku banyak g(x) dibagi (x - 2) sisa 9, dibagi dengan (x + 3) sisa 2. Jika h(x) = f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) dibagi x2 + x - 6 adalah ...
A. 7x - 1
B. 6x -1
C. 5x -1
D. 4x - 1
E. 3x - 1
Pembahasan :
Sesuai dengan konsep teorema sisa seperti no 1 dan no 2, maka :
f(x) dibagi (x - 2) sisa 1 → f(2) = 1
f(x) dibagi (x + 3) sisa 8 → f(-3) = -8
g(x) dibagi (x - 2) sisa 9 → g(2) = 9
g(x) dibagi (x + 3) sisa 2 → g(-3) = 2
h(x) = f(x).g(x)
h(2) = f(2).g(2) = 1(9) = 9
h(-3) = f(-3).g(-3) = -8(2) = -16
Misalkan h(x) dibagi dengan x2 + x - 6 bersisa ax + b. Karena x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2), maka diperoleh :
h(x) dibagi dengan (x + 3) → -b/a = -3
h(-3) = ax + b
h(-3) = -3a + b
h(-3) = -16 ---> di atas diperoleh h(-3) = -16
maka -3a + b = -16
h(x) dibagi dengan (x - 3) → -b/a = 2
h(2) = ax + b
h(2) = 2a + b
h(2) = 9 ---> di atas diperoleh h(2) = 9
maka 2a + b = 9
Untuk mengetahui nilai a dan b dapat digunakan cara substitusi ataupun eliminasi.
2a + b = 9 → b = 9 - 2a → substitusi ke -3a + b = -16
-3a + b = -16
-3a + (9 - 2a) = -16
-5a = -25
a = 5
Karena a = 5 maka diperoleh :
b = 9 - 2a
b = 9 - 2(5)
b = -1
Jadi sisa pembagian h(x) dibagi dengan x2 + x - 6 adalah :
s(x) = ax + b = 5x - 1 ---> opsi C. - (Ujian Nasional 2009/2010)Diketahui (x - 2) adalah faktor dari suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx - 2. Jika dibagi dengan (x + 3) sisanya -50. Nilai a + b adalah ...
A. 10
B. 4
C. -6
D. -11
E. -13
Pembahasan :
Karena x - 2 adalah faktor suku banyak, maka suku banyak f(x) = 2x3 + ax2 + bx - 2 akan habis dibagi dengan x - 2 atau s(x) = 0.
Jika dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2, maka diperoleh :
P(-b/a) = 2x3 + ax2 + bx - 2 = 0
P(2) = 2(2)3 + a(2)2 + b(2) -2 = 0
16 + 4a + 2b - 2 = 0
4a + 2b = -14
2a + b = -7
Jika dibagi dengan (x + 3) → -b/a = -3, maka diperoleh :
P(-b/a) = 2x3 + ax2 + bx - 2 = -50
P(-3) = 2(-3)3 + a(-3)2 + b(-3) -2 = -50
-54 + 9a - 3b - 2 = -50
9a - 3b = 6
3a - b = 2
Untuk mendapat nilai a dan b maka dapat digunakan metode eliminasi ataupun metode substitusi. Di bawah ini digunakan metode substitusi :
2a + b = -7 → b = -7 - 2a → substitusi ke 3a - b = 2
3a - b = 2
3a - (-7 - 2a) = 2
3a + 2a + 7 = 2
5a = -5
a = -1
selanjutnya kita cari nilai b sebagai berikut :
b = -7 - 2a
b = -7 - 2(-1)
b = -5
Jadi nilai a + b = -1 + (-5) = -6 ---> opsi C. - (Ujian Nasional 2010/2011)Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x - 1) sisa 11, dibagi (x + 1) sisa -1. Maka nilai 2a + b adalah ...
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
Pembahasan :
Berdasarkan teorema sisa diperoleh :
Dibagi dengan (x - 1) → -b/a = 1
P(1) = 2(1)4 + a(1)3 - 3(1)2 + 5(1) + b = 11
2 + a - 3 + 5 + b = 11
a + b = 11 - 4
a + b = 7
Dibagi dengan (x + 1) → -b/a = -1
P(-1) = 2(-1)4 + a(-1)3 - 3(-1)2 + 5(-1) + b = -1
2 - a - 3 - 5 + b = -1
-a + b = -1 + 6
-a + b = 5
Dengan metode substitusi diperoleh :
a + b = 7 → b = 7 - a → substitusi ke -a + b = 5
-a + b = 5
-a + (7 - a) = 5
-2a = 5 - 7
a = 1
karena a = 1, maka b adalah :
b = 7 - a
b = 7 - 1 = 6
Jadi nilai 2a + b = 2(1) + 6 = 8 ---> opsi C. - (Ujian Nasional 2010/2011)Diketahui (x - 2) dan (x - 1) adalah faktor-faktor suku banyak P(x) = x3 + ax2 - 13x + b. Jika akar-akar persamaan suku banyak tersebut adalah x1, x2, dan x3, untuk x1 > x2 > x3, nilai x1 - x2 - x3 adalah ...
A. 8
B. 6
C. 3
D. 2
E. 4
Pembahasan :
Berdasarkan konsep teorema sisa, faktor suku banyak adalah fungsi yang jika suku banyak dibagi olehnya sisanya sama dengan nol atau dengan kata lain suku banyak akan habis bila dibagi dengan faktornya. Jika P(x) habis dibagi ax - b, maka berlaku :
P(-b/a) = 0
dengan :
ax - b disebut faktor suku banyak P(x)
x = -b/a disebut akar dari P(x) = 0
Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita dapat mencari faktor yang ketiga terlebih dahulu dengan cara :
Jika dibagi dengan (x - 2) → -b/a = 2
P(2) = 23 - a(2)2 - 13(2) + b = 0
8 + 4a - 26 + b = 0
4a + b = 18
Jika dibagi dengan (x - 1) → -b/a = 1
P(1) = 13 + a(1)2 - 13(1) + b = 0
1 + a - 13 + b = 0
a + b = 12
Dengan metode substitusi diperoleh :
a + b = 12 → b = 12 - a → substitusi ke 4a + b = 18
4a + b = 18
4a + 12 - a = 18
3a = 6
a = 2
karena a = 2 maka b adalah :
b = 12 - a
b = 12 - 2 = 10
Dengan begitu berarti faktor lain dari suku banyak tersebut adalah ax + b = 2x + 10. Selanjutnya, karena 2x + 10 merupakan faktor, maka P(x) dibagi dengan 2x + 10 sisanya akan sama dengan nol. Berdasarkan konsep tersebut, maka dieproleh :
dibagi (x - 2) sisa = 0, maka faktor x = 2
dibagi (x - 1) sisa = 0, maka faktor x = 1
dibagi (2x + 10) sisa = 0, maka faktor x = -10/2 = -5
Karena x1 > x2 > x3, maka :
x1 = 2
x2 = 1
x3 = -5
Jadi nilai x1 - x2 - x3 = 2 - 1 - (-5) = 6 ---> opsi B. - (Ujian Nasional 2011/2012)Suku bayak berderajat 3 jika dibagi dengan (x2 - x - 6) bersisa (5x - 2), jika dibagi dengan (x2 - 2x - 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah ...
A. x3 - 2x2 + x + 4
B. x3 - 2x2 + x - 4
C. x3 - 2x2 - x - 4
D. x3 - 2x2 + 4
E. x3 - 2x2 - 4
Pembahasan :
Dibagi dengan (x2 - x - 6) → dibagi dengan (x - 3)(x + 2)
P(3) = 5x - 2 = 5(3) - 2 = 13
P(-2) = 5x - 2 = 5(-2) - 2 = -12
Dibagi dengan (x2 - 2x - 3) → dibagi dengan (x - 3)(x + 1)
P(3) = 3x + 4 = 3(3) + 4 = 13
P(-1) = 3x + 4 = 3(-1) + 4 = 1
Misalkan P(x) = ax3 + bx2 + cx + k
P(3) = 27a + 9b + 3c + k = 13
P(-2) = -8a + 4b - 2c + k = -12
P(-1) = -a + b - c + k = 1
Nilai a. b. c, dan k adapat dicari dengan metode eliminasi. Untuk tujuan praktis, dari tiga persamaan P(3), P(-2), dan P(-1), pilih P(-1) karena paling sederhana. Selanjutnya uji nilai x = -1 ke persamaan yang ada pada opsi. Persamaan yang hasilnya sama dengan 1 adalah jawabannya. Dari kelima opsi, opsi D sama dengan 1 jika nilai x = -1. Jadi suku banyak yang dimaksud adalah x3 - 2x2 + 4 ---> opsi D.